Aunque las fotos están muy claras, por favor lee lo que te envío y coméntanos si puede coincidir:
-Cercospora (Cercospora beticola)
En las hojas aparecen pequeñas manchas redondeadas de unos 3 mm de diámetro; al principio el centro de la mancha es grisáceo, después se forman unos puntitos negros. Toda la superficie de las hojas puede quedar cubierta por las manchas que se van secando.
Control
-Para su control realizar tratamientos con oxicloruro de cobre, zineb, benomilo, caldo bordelés, etc.
Desde luego, al margen del nombre que tenga y de si es eso u otra plaga, se podría apostar a que se trata de un hongo, de modo que los tratamiento habituales deberían funcionar. Yo creo que me decantaría por el extracto de cítricos porque a las acelgas también les puede atacar el mildiu y así matarías dos pájaros de un tiro.
Pero, insisto ¿encaja la descripción con lo que hayas podido ver?